zurück Home	Gleichungen
Definition	Behauptung: Ausdruck 1 = Ausdruck 2	Gleichungen sind Behauptungen, dass Ausdruck 1 und Ausdruck 2 gleich sind.	Die Behauptung kann wahr sein (eine Lösung), falsch (keine Lösung) oder mehrere Lösungen haben.
Ausdruck	Ein Ausdruck ist hier ein Term der Unbekannten x.	X ist ein Element der Menge G.	Hier ist G die Menge der reelen Zahlen.
Lösung	Eine Lösung der Gleichung ist ein Element x ∈ G, für welches die Behauptung LinkeSeite = RechteSeite eine wahre Aussage ist.	Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge und wird üblicherweise mit L bezeichnet.	Sie kann ein oder mehrere (sogar unendlich viele) Elemente enthalten oder auch leer sein.
Beispiele	x + 2 = 5	Lösung: x = 3 (nur eine Lösung)
	n + 1 = n	Diese Behauptung ist immer falsch. Die Gleichung hat keine Lösung. Die Lösungsmenge ist leer, L = { }.
	r2 = 4	Die Gleichung hat zwei Lösungen, r = -2 und r = 2. Die Lösungsmenge ist L = {-2, 2}.
Identität	2 ( x + 1 ) = 2 x + 2	ist gleich 2x + 1 = 2x + 1
	Diese Behauptung ist alle x eine wahre Aussage ist. Die Lösungsmenge ist gleich der Grundmenge, L = G.	Eine Identität ist eine Gleichung, die immer eine wahre Aussage darstellt.
Äquivalenzumformungen	Bei einer Äquivalenzumformung wird die linke und die rechte Seite einer Gleichung auf gleiche Weise abgeändert.	Die Änderung muß umkehrbar sein.
	Addition	Zu beiden Seiten einer Gleichung denselben Term addieren.	2 x - 3 = x | + 3 2 x = x + 3 | - x x = 3
Multiplikation	Beide Seiten mit demselben Term multiplizieren. (nicht 0!)
Klammern	Klammern auflösen oder setzen.	( x + 1 )2 = x2 + 5 | Klamer auflösen x2 + 2 x + 1 = x2 + 5
lineare Gleichung	Gleichungen erster Ordnung	A x + B = C x + D Variable x A, B, C, D vorgegebene, bekannte Zahlen	Beispiele für lineare Gleichungen: 3 x + 2 = x - 1 x + 3 = x x - 1 = 0
Normalform	a x + b = 0	Jede lineare Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen auf die Normalform gebracht werden.	Lineare Gleichungen haben: keine Lösung: a = 0, b ≠ 0, z.B. 0 x + 5 = 0  eine einzige Lösung: a ≠ 0, b ≠ 0  werden von allen reellen Zahlen gelöst: a = 0, b = 0
Diophantische Gleichungen	Gleichung mit mehreren Unbekannten
	pythagoräische Tripel	x12 + x22 - x32 = 0
	x13 + x23 - x33 = 0	keine Lösung
	Fermats letzter Satz	Es gibt keine natürliche Zahlen a, b, c und n mit n>2 für die gilt:	an + b n = c n

Impressum                                 Zuletzt geändert am 11.10.2019 17:20