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allgemeines
Stetigkeit Eine Funktionen, die keine Sprünge aufweist. Z.B. Sinusschwingung. Die Funktion, welche die Menge an Geld auf einem Konto beschreibt, ist nicht stetig, weil sie kann plötzlich von einem Wert zu einem anderen springen kann.
Differenzierbarkeit Differenzierbarkeit ist die Abwesenheit von Knicken. Eine Funktion ist differenzierbar in einem Punkt, wenn sie in diesem Punkt eine Tangente hat. Die Steigung dieser Tangente (die Ableitung der Funktion) beschreibt die lokale Änderungsrate der Funktion.
Extrema Extrema example de
Bildquelle: Georg-Johann, Public domain, via Wikimedia Commons
Sekante Die Sekante (blau) schneidet die Funktion f(x) (rot) in den Punkten P und Q.
polynomiale Gleichung f(x) = a1 x + a2 x2 + … + an xn
trigoniometrische Funktionen Sinus
 Cosinus
 Tangens
Lamé-Funktion Lamé-Funktion "Superellipse"
a,b: Halbachsen
n = 2: Ellipse
n >> 2: Rechteck		 Ellipse
Lamé-Funktion
Elliptische Kurven y2 = x3 + ax + b Elliptische Kurven
Möbius-Funktion Möbius-Funktion n: natürliche Zahlen > 0
µ: kann nur -1 oder +1 oder 0 sein
k: Zahl der Primzahlen, die in n enthalten sind
Wenn eine Primzahl 2x enthalten ist (= Quadrat, z.B. 4, 8, 9, 12), so wird µ = 0.
Lissajous-Figuren Entstehen durch harmonische Schwingungen ungleicher Frequenz. x = A1 sin (ω1t + Φ1)
y = A2 sin(ω2t + Φ2)
Die Funktion ist periodisch, wenn ω1 : ω2 ein ganzzahliges Verhältnis bilden.
Lissajous-Kurve+Kruemmungskreis+3Vektoren Animated
Bildquelle: Urs Hartl, CC BY-SA 3.0 , via Wikimedia Commons		 A1, A2: Amplitude
ω1t: Kreisfunktion
Φ1: Phase
Cardioide Ein äußerer Kreis rollt auf einem inneren Kreis.
Der äußere Kreis enthält einen festen Punkt.
Dieser beschreibt eine Cardioide (rote Linie).
Rollt ein kleiner Kreis im Innern eines größeren Kreises,
so beschreibt ein fester Punkt auf dem kleinen Kreis eine eine Deltoide (blaue Linie).
Deltoid and Cardioid
Von Greg Egan [CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0)]
Lemniskate Lemniskate+3Vektoren Animated
Bildquelle: Urs Hartl, CC BY-SA 3.0 , via Wikimedia Commons
Partitierungs-Funktion p(n) p gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, die positive ganze Zahl n in positive ganze Summanden zu zerlegen. Z.B. lässt sich die Zahl 4 als 1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2, 1 + 3 oder als 4 schreiben. p(4) = 5. p(5) = 7
p(9) = 30
p(100) = 190.569.292
diophantischen Gleichungen x2 + d * y2 = 1 nur Lösungen mit ganzen Zahlen. Lösung z.B. x = 3; d = 2; y = 2
Heaviside-Funktion Heaviside-Funktion
Quellen 1.) Abramowitz M, Stegun IA:
Handbook of Mathematical Functions.
Dover Publications, New York, 1965

Impressum                                 Zuletzt geändert am 16.09.2014 18:47